Négation d'une proposition

Définition

Soit \(P\) une proposition. La négation de la proposition \(P\) est une proposition qui est :

• vraie lorsque \(P\) est fausse ;
  
• fausse quand \(P\) est vraie.

 On la note : non \(P\).

Exemples

• La négation de la proposition « avoir 20 ans ou plus » est « \(\)avoir moins de 20 ans strictement ». Ces deux propositions sont bien contradictoires puisqu'on se situe soit dans un cas, soit dans l'autre. Donc elles ne peuvent pas être vraies en même temps.
  
• Soit \(x\) un nombre réel.
  La proposition « \(x\leqslant1\) » a pour négation la proposition « `x>1` ».
  
• Soit \(x\) un nombre réel.
  La proposition « \(x=3\) » a pour négation la proposition « \(x\neq 3\)  ».
• Soit `n` un entier naturel.
  La proposition « `n` est pair » a pour négation « `n` est impair ».
  

Remarque

Soit \(P\) une proposition et `E` un ensemble.

• La négation d'une proposition de type « pour tout élément de `E`, on a \(P\) » est « il existe au moins un élément de \(E\) tel que non \(P\) ». 
  
• La négation d'une proposition de type « il existe un élément de \(E\) tel qu'on a \(P\) » est « pour tout élément de \(E\), on a non \(P\) ».
  

Exemple

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R.\)
Soit la proposition : « Pour tout nombre réel \(x\), \(f(x)\geqslant 0\). »
La négation de cette proposition est : « Il existe un nombre réel \(x\) tel que \(f(x)<0\). »